逆矩阵的性质是什么（大学数学中的《逆矩阵》到底讲了些什么？）

逆矩阵是一个非常重要的概念，它在不同领域也有着不同的应用，包括数据处理、图像处理、统计学、物理学、工程学等。

其次就是逆矩阵在数学中也有着非常重要的应用，它是线性代数中最基本的概念之一，是解决线性方程组、研究矩阵性质、处理线性变换等问题的关键工具。

接下来，我们来看一下有关逆矩阵的知识点，大家端个小板凳坐好啦。

第一、逆矩阵的概念和性质：

在数的运算中，当数a≠0时，有aa⁻¹ =a⁻¹ a=1，其中a⁻¹ =1/a为a的倒数，或称a的逆（元),在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中的1，那么对于矩阵A，如果存在一个矩阵A⁻¹ ，使得AA⁻¹ ＝A⁻¹ A＝E，则称矩阵A为可逆矩阵，称A⁻¹ 为A的逆矩阵。

或者从线性变换的观点来看，给定线性变换如下：

若将上述线性方程，记其系数矩阵为：

那么可得，线性变换可记为：Y＝AX，我们再来接着往下看，如果将上述线性变换进行推导，那么就可得：

对于上述推导，大家还记得行列式的代数余子式的概念和性质吧，行列式A中的元aij的代数余子式Aij，行列式A的第i行（或j列)与它对应的代数余子式的积为A，行列式A的第i行（或j列）与其它行（或列）对应的代数余子式的积为零

而矩阵A的伴随矩阵A*是A的各个元的代数余子式组成的，最后由矩阵的转置矩阵，那么A与A*相乘可以得一新矩阵为对角矩阵主对角线上所有元为|A|，其它元为0，所以AA*=IAIE

这个理解起来稍微有些复杂，多看几遍就会的，我们接着往下看。

X＝BY 是一个从Y到X的线性变换，它是线性变换Y=AX的逆变换。其中这两个变换式子是满足恒等变换的，则：

此时有： AB=BA=E

由此我们给出以下定义：对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB =BA=E，则称矩阵A是可逆的，并称矩阵B为A的逆矩阵，A的逆矩阵记作A⁻¹ ，即： A⁻¹ =B

通过总结，我们还可以得到以下几条性质，大家要稍微记忆一下：

（1）A与A⁻¹ 为同阶方阵; （2）若B是A的逆矩阵，那么A也是B的逆矩阵;（3）E⁻¹ ＝E

接下来，我们在来看一下有关逆矩阵的定理描述

从定理可以看出，逆矩阵实际上和矩阵的行列式以及该矩阵的伴随矩阵有一定联系，其中矩阵的行列式不能为零。那么这个逆矩阵为什么会成立呢？我们一起来证明一下，如下所示：

证明：若A可逆，则有A⁻¹ ，使得：AA⁻¹ =E，故： |A||A⁻¹ |＝|E|＝1，由伴随矩阵的性质：AA*=A*A=|A|E，当|A|≠0时,有以下式子成立：

按照逆矩阵的定义，就可以得到结论成立：

明确：该定理揭示了矩阵可逆的充要条件,并给出了逆矩阵的一种求法，那就是公式法求解。

另外还需要注意一个重要问题，那就是三角矩阵是否可逆问题：

(2）上三角矩阵或者下三角矩阵可逆，当且仅当主对角元全部不为零时可以成立，且当ai≠0（i=1,2，…，n)时可以得到以下情况成立，(diag(a₁，a₂，……，a ₙ))⁻¹ ＝diag(a⁻¹ ，a⁻²，……，a⁻ⁿ )，这里的逆矩阵可以由定义得到。